ცოდნა სინათლეა - Knowledge is light - Знание свет -
ინერციის მომენტი
Flywheels– ს აქვს ინერციის დიდი მომენტები, რათა შეასრულოს ბრუნვითი მოძრაობა.
ინერციის მომენტი, სხვაგვარად ცნობილია როგორც ინერციის მასობრივი მომენტი, კუთხის მასა, მასის მეორე მომენტი, ან ყველაზე ზუსტად, ბრუნვითი ინერცია, ხისტი სხეულის რაოდენობაა, რომელიც განსაზღვრავს ბრუნვისთვის საჭირო ბრუნვის აჩქარებას მბრუნავი ღერძის შესახებ. , ისევე, თუ როგორ განსაზღვრავს მასა სასურველი აჩქარებისთვის საჭირო ძალას. ეს დამოკიდებულია სხეულის მასის განაწილებაზე და არჩეულ ღერძზე, უფრო დიდი მომენტები მოითხოვს უფრო მეტ ბრუნვას, რომ შეცვალოს სხეულის როტაციის სიჩქარე.
ეს არის ვრცელი (დანამატის) საკუთრება: წერტილოვანი მასისთვის ინერციის მომენტი უბრალოდ მასის ჯერ არის პერპენდიკულური მანძილის კვადრატს როტაციის ღერძთან. ხისტი კომპოზიციური სისტემის ინერციის მომენტია მისი კომპონენტის ქვესისტემების ინერციის მომენტების ჯამი (ყველაფერი გადაღებულია იმავე ღერძზე). მისი უმარტივესი განმარტება მასის მეორე მომენტია ღერძიდან დაშორებასთან დაკავშირებით.
თვითმფრინავში გადატრიალებული ორგანოებისთვის, მხოლოდ მათი ინერციის მომენტი თვითმფრინავის პერპენდიკულარული ღერძის შესახებ, მასშტაბური მნიშვნელობა აქვს. იმისათვის, რომ სხეულებმა შეიტანონ როტაცია სამ განზომილებაში, მათი მომენტები შეიძლება აღწერილი იყოს სიმეტრიული 3-დან 3 მატრიქსით, ურთიერთგამომრიცხავი პერპენდიკულური ძირითადი ღერძების ერთობლიობით, რისთვისაც ეს მატრიცა დიაგონალურია და ღერძების გარშემო ბრუნვები მოქმედებენ ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად.
სიდიდე, რომელიც ახასიათებს მასების განაწილებას სხეულში და მასასთან ერთად სხეულის ინერციულობის ზომაა ბრუნვითი მოძრაობის დროს. მექანიკაში განიხილავენ ღერძულსა და ცენტრიდანულ ინერციის მომენტებს. სხეულის ღერძული ინერციის მომენტი z ღერძის მიმართ ეწოდება სიდიდეს, რომელიც განისაზღვრება ტოლობით: ან , სადაც m არის სხეულის წერტილთა მასები, ri –მათი z ღერძიდან, ρ სიმკვრივე, V მოცულობა. Iz სიდიდე სხეულის ინერციულობის ზომაა ღერძის ირგვლივ მისი ბრუნვისას. ინერციის მომენტის განზომილებაა L2M, ანუ კგ*მ2. a და b პარალელური ღერძების ინერციის მომენტები ერთმანეთთან დაკავშირებულია შემდეგი ტოლობით:
იხ. ვიდეო - ინერციის მომენტი
როდესაც სხეული თავისუფალია ღერძის გარშემო ბრუნვა, ბრუნვის გამოყენება უნდა მოხდეს მისი კუთხის იმპულსის შესაცვლელად. ბრუნვის ოდენობა, რომელიც საჭიროა ნებისმიერი მოცემული კუთხის აჩქარებისთვის (კუთხის სიჩქარის ცვლილების სიჩქარე) პროპორციულია სხეულის ინერციის მომენტთან. ინერციის მომენტები შეიძლება გამოიხატოს კილოგრამ მეტრის კვადრატში (კგ · მ 2) SI ერთეულებში და ფუნტ-ფეხის წამის კვადრატში (LBF · ft · S2) იმპერიულ ან აშშ-ს ერთეულებში.
ინერციის მომენტი როლს ასრულებს როტაციულ კინეტიკაში, რომელსაც მასა (ინერცია) თამაშობს ხაზოვან კინეტიკაში - ორივე ახასიათებს სხეულის წინააღმდეგობას მისი მოძრაობის ცვლილებებში. ინერციის მომენტი დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ ხდება მასის განაწილება როტაციის ღერძის გარშემო და განსხვავდება არჩეული ღერძის მიხედვით. წერტილოვანი მასისთვის, გარკვეული ღერძის შესახებ ინერციის მომენტი მოცემულია
Mr^{2}, სად
r არის წერტილის მანძილი ღერძიდან და
M არის მასა. გაფართოებული ხისტი სხეულისთვის, ინერციის მომენტი მხოლოდ მასის ყველა პატარა ნაჭრის ჯამი მრავლდება მათი დისტანციების კვადრატში, როტაციის ღერძიდან. რეგულარული ფორმისა და ერთგვაროვანი სიმკვრივის გაფართოებული სხეულისთვის, ეს ჯამში ზოგჯერ წარმოქმნის მარტივ გამოხატვას, რომელიც დამოკიდებულია ობიექტის განზომილებებზე, ფორმაზე და მთლიანი მასაზე.
მათი მანევრირების გასაუმჯობესებლად, ომის თვითმფრინავები შექმნილია იმისთვის, რომ ინერციის უფრო მცირე მომენტები ჰქონდეთ კომერციულ თვითმფრინავებთან შედარებით.
1673 წელს ქრისტია ჰუგენსმა შემოიღო ეს პარამეტრი მისი შესწავლისას სხეულისგან ჩამოკიდებული სხეულის რხევების შესახებ, რომელიც ცნობილია როგორც ნაერთის გულსაკიდი. ინერციის ტერმინი (ლათინურად "იმპულსი ინერცია") შეიტანეს ლეონჰარდ ეულერმა თავის წიგნში Theoria Motus Corporum Solidorum Seu Rigidorum 1765 წელს, და იგი შედის ეულერის მეორე კანონში.
ნაერთის გულსაკიდების რხევების ბუნებრივი სიხშირე მიიღება გულსაკიდების მასაზე მიყენებული სიმძიმის მიერ დაწესებული ბრუნვის თანაფარდობით, ინერციის მომენტში განსაზღვრული აჩქარების წინააღმდეგობისკენ. ამ ბუნებრივი სიხშირის შედარება უბრალო გულსაკიდთან, რომელიც შედგება მასის ერთი წერტილისგან, უზრუნველყოფს მათემატიკური ფორმულირებას გაფართოებული სხეულის ინერციის მომენტში.
ინერციის მომენტი ასევე ჩნდება იმპულსი, კინეტიკური ენერგია და ნიუტონის მოძრაობის კანონები ხისტი სხეულისთვის, როგორც ფიზიკური პარამეტრი, რომელიც აერთიანებს მის ფორმასა და მასას. საინტერესო განსხვავებაა ინერციის მომენტში, რომელიც ჩნდება პლანტარული და სივრცით მოძრაობაში. პლანეტურ მოძრაობას აქვს ერთი სკალერი, რომელიც განსაზღვრავს ინერციის მომენტს, ხოლო სივრცითი მოძრაობისთვის იგივე გამოთვლები იძლევა ინერციის მომენტების 3 × 3 მატრიქსს, რომელსაც ეწოდება ინერციის მატრიცა ან ინერცია ტენსორი.
იხ. ვიდეო - ფიზიკის დრო - დინამიკა: ძალა და ინერცია #ტელესკოლა
მბრუნავი მფრინავის ინერციის მომენტი გამოიყენება აპარატში, რათა წინააღმდეგობა გაუწიოს გამოყენებითი ბრუნვის ცვალებადობას, მისი ბრუნვის გამომუშავების გასუფთავების მიზნით. თვითმფრინავის ინერციის მომენტი მისი გრძივი, ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ღერძების შესახებ განსაზღვრავს, თუ როგორ მოქმედებს გამაძლიერებელი ძალები მისი ფრთების, ლიფტების და რუდერის (ებ) ის საკონტროლო ზედაპირებზე, გავლენას ახდენს თვითმფრინავის მოძრაობებზე რულონზე, მოედანზე და ყელში.
ფიგურულ მოციგურავეებს შეუძლიათ შეამცირონ ინერციის მომენტი მკლავებში მოხვედრის გზით, რაც მათ საშუალებას აძლევს უფრო სწრაფად დატრიალდნენ კუთხური იმპულსის კონსერვაციის გამო.
Proof![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\&\;\;\;\;\;\ldots \;\mathbf {R} {\text{ is either at rest or moving at a constant velocity but not accelerated, or }}\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{the origin of the fixed (world) coordinate reference system is placed at the center of mass }}\mathbf {C} \\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1a1b0804a6cf8a550a81732385fca1083051df)
Then, the following Jacobi identity is used on the last term:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ab33d54b34674092a14d55c8ccefb765a2e7ae)
The result of applying Jacobi identity can then be continued as follows:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1ab7d45bf04c0df3101e84282bc6695ddecf68)
The final result can then be substituted to the main proof as follows:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f6f583aacfd008f43218fc24e97547511a6a91)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adeb5bbad0d607e038f18398c83a2761c4af3102)
Notice that for any vector , the following holds:
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059812b4501e0672712b5b7adff834e79c3b4bff)
Finally, the result is used to complete the main proof as follows:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0971bbc71e7ceb3c810afa1043b08aca54608486)
