ცოდნა სინათლეა - Knowledge is light - Знание свет -  

        ჰიპერბოლური სამკუთხედი

                            ჰიპერბოლური სამკუთხედი უნაგირის ზედაპირზე

ჰიპერბოლურ გეომეტრიაში ჰიპერბოლური სამკუთხედი არის სამკუთხედი ჰიპერბოლურ სიბრტყეში. იგი შედგება სამი სეგმენტისგან, რომელსაც ეწოდება მხარეები ან კიდეები, და სამი წერტილისგან, რომელსაც ეწოდება კუთხეები ან წვერები.

როგორც ევკლიდეს შემთხვევაში, თვითნებური განზომილების ჰიპერბოლური სივრცის სამი წერტილი ყოველთვის ერთ სიბრტყეშია. ამრიგად, პლანზური ჰიპერბოლური სამკუთხედები ასევე აღწერს სამკუთხედებს, რომლებიც შესაძლებელია ნებისმიერ მაღალგანზომილებიან ჰიპერბოლურ სივრცეში.

                                                                               

სამკუთხედის მოზაიკა მე-7 რიგის სამკუთხა კრამიტს აქვს ტოლგვერდა სამკუთხედები, რომელთა შიდა კუთხე 2π/7 რადიანია.

ჰიპერბოლური სამკუთხედი შედგება სამი არაწრფივი წერტილისგან და მათ შორის სამი სეგმენტისგან.

Თვისებები

ჰიპერბოლურ სამკუთხედებს აქვთ ევკლიდეს გეომეტრიის სამკუთხედების მსგავსი თვისებები:

ყველა ჰიპერბოლურ სამკუთხედს აქვს შემოხაზული წრე, მაგრამ ყველა ჰიპერბოლურ სამკუთხედს არ აქვს შემოხაზული წრე (იხ. ქვემოთ). მისი წვეროები შეიძლება იყოს ჰოროციკლზე ან ჰიპერციკლზე.

ჰიპერბოლურ სამკუთხედებს აქვთ სფერული ან ელიფსური გეომეტრიის სამკუთხედების მსგავსი თვისებები:

ორი სამკუთხედი კუთხეების ერთნაირი ჯამით ტოლია ფართობით.

სამკუთხედების ფართობისთვის არის ზედა ზღვარი.

ჩაწერილი წრის რადიუსზე არის ზედა ზღვარი.

ორი სამკუთხედი თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ისინი ერთმანეთში გადადიან წრფის სასრული რაოდენობის ასახვის შედეგად.

ტოლი შესაბამისი კუთხით ორი სამკუთხედი თანმიმდევრულია (ანუ ყველა მსგავსი სამკუთხედი თანმიმდევრულია).

ჰიპერბოლურ სამკუთხედებს აქვთ გარკვეული თვისებები, რომლებიც საპირისპიროა სამკუთხედების სფერულ ან ელიფსურ გეომეტრიაში:

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180°-ზე ნაკლებია.

სამკუთხედის ფართობი პროპორციულია მისი კუთხეების ჯამის დეფიციტისა (180°-მდე).

ჰიპერბოლურ სამკუთხედებს ასევე აქვთ ისეთი თვისებები, რომლებიც სხვა გეომეტრიაში არ არის ნაპოვნი:

ზოგიერთ ჰიპერბოლურ სამკუთხედს არ აქვს შემოხაზული წრე, რაც ხდება მაშინ, როდესაც წვეროებიდან ერთი მაინც იდეალური წერტილია, ან როდესაც ყველა წვერო დევს ჰოროციკლზე ან ცალმხრივ ჰიპერციკლზე.

ჰიპერბოლური სამკუთხედები თხელია, არის მაქსიმალური მანძილი δ გვერდის წერტილიდან დანარჩენ ორ გვერდამდე. ეს პრინციპი იწვევს δ-ჰიპერბოლური სივრცეების გაჩენას.

იხ. ვიდეო - Сферический избыток треугольника

სამკუთხედის განმარტება შეიძლება განზოგადდეს იმით, რომ წვეროები განლაგდეს ჰიპერთვითმხედველობის იდეალურ საზღვარზე, ხოლო გვერდები სიბრტყის შიგნითაა. თუ წყვილი გვერდი ასიმპტომურად პარალელურია (ანუ მათ შორის მანძილი ნულისკენ მიისწრაფვის, როცა ისინი იდეალურ წერტილს უახლოვდებიან, მაგრამ ისინი არ იკვეთებიან), მაშინ ისინი მთავრდება იდეალურ წვეროზე, რომელიც წარმოდგენილია ომეგა წერტილით.

ამბობენ, რომ ასეთი წყვილი გვერდები ქმნიან ნულოვან კუთხეს.

ნულოვანი კუთხით სამკუთხედი ევკლიდეს გეომეტრიაში შეუძლებელია სხვადასხვა წრფეზე მდებარე სწორხაზოვანი გვერდებისთვის. თუმცა, ასეთი ნულოვანი კუთხეები შესაძლებელია ტანგენტის წრეებისთვის[en].

სამკუთხედს ერთი იდეალური წვერით ეწოდება ომეგას სამკუთხედი.

სამკუთხედების სპეციალური ტიპები სრულყოფილი წვეროებით:

სამი იდეალური სამკუთხედი პუანკარეს დისკის მოდელში

პარალელურობის სამკუთხედი

სამკუთხედი, რომელშიც ერთი წვერო არის იდეალური წერტილი, ერთი კუთხე არის მართი კუთხე - მესამე კუთხე არის პარალელურობის კუთხე მართკუთხა და მესამე კუთხეს შორის მდებარე მხარისთვის.

შვაიკერტის სამკუთხედი

სამკუთხედი, რომელშიც ორი წვერო არის სრულყოფილი წერტილი, ხოლო დარჩენილი კუთხე არის მართი კუთხე. ეს არის ერთ-ერთი პირველი ჰიპერბოლური სამკუთხედი (1818), რომელიც აღწერა ფერდინანდ კარლ შვაიკერტმა.

იდეალური სამკუთხედი

მთავარი სტატია: სრულყოფილი სამკუთხედი

სამკუთხედი, რომელშიც ყველა წვერო იდეალური წერტილია. ასეთი სამკუთხედი ყველაზე დიდია ლობაჩევსკის გეომეტრიაში შესაძლო სამკუთხედებს შორის, რადგან მას აქვს ნულოვანი კუთხეების ჯამი.

იხ. ვიდეო - Illuminating hyperbolic geometry